<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"><Font encoding="ISO8859-1">4. Lineare Gleichungssysteme, L\366sungen linearer Gleichungssysteme, parameterabh\344ngige lineare Gleichungssysteme und Gau\337-Verfahren</Font></Text-field><Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" encoding="ISO8859-1" italic="true">4.1. L\366sen linearer Gleichungssysteme:</Font></Text-field>Sei A eine mxn-dimensionale Matrix, b ein m-dimensionaler und x ein n-dimensionaler Spaltenvektor. Weiter seien die Matrix A und der Vektor b beide gegeben. Zum L\366sen eines linearen Gleichungssystems (LGS) der Form Ax=b kann die Funktion "LinearSolve(A,b)" aus dem Paket "LinearAlgebra" (bzw. "linsolve(A,b)" aus dem Paket "linalg") verwendet werden. Beispiele:with(LinearAlgebra): (Beispiel f\374r ein eindeutig l\366sbares LGS)
A := Matrix([[1,0,2],[3,2,1],[4,1,3]]):
b := Vector([1,0,0]):
LinearSolve(A,b);Das folgende Beispiel zeigt was passiert, wenn die Matrix A den Rang 3 hat und das Gleichungssysteme keine L\366sung besitzt. Maple liefert uns die Meldung "inconsistent system". Beispiel:with(LinearAlgebra): (Beispiel f\374r ein nichtl\366sbares LGS, d.h. es gibt keine L\366sungen)
A := Matrix([[1,1,-1,-1],[2,5,-7,-5],[2,-1,1,3],[5,2,-4,2]]):
b := Vector([1,-2,4,6]):
LinearSolve(A,b);Ein LGS kann bekanntlich auch mehrere L\366sungen besitzen kann. Im Falle des folgenden Beispiels erhalten wir eine Gerade (bzw. eine Ebene). Beispiel:with(LinearAlgebra): (Beispiel f\374r ein LGS mit mehreren L\366sungen)
A := Matrix([[0,2,-1],[2,1,-1]]):
b := Vector([-1,1]):
LinearSolve(A,b);
A := Matrix([[2,-1,-3]]): (Beispiel f\374r ein LGS mit mehreren L\366sungen)
b := Vector([7]):
LinearSolve(A,b);<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" encoding="ISO8859-1" executable="false" italic="true">4.2. Parameterabh\344ngige lineare Gleichungssysteme:</Font></Text-field>Das L\366sen linearer Gleichungssysteme ist auch dann m\366glich, wenn das System von einem reellen Parameter alpha abh\344ngt, d.h. von einer reellen Variablen ohne festen Wert. Die folgenden zwei Beispiele sind Beispiele f\374r LGS mit einer parameterabh\344ngigen Matrix A. Beispiel:with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[alpha,4,alpha],[0,-2,4],[2,alpha,6]]):
b := Vector([1,3,4]):
LinearSolve(A,b);
A := Matrix([[-alpha,-1,alpha-1],[2,alpha+3,3],[alpha,1,1]]):
b := Vector([0,0,0]):
LinearSolve(A,b);Achtung: Maple hat in beiden Beispielen nicht alle L\366sungen berechnet! Streng genommen m\374sste man Fallunterscheidungen t\344tigen. Im 1. Beispiel gilt:
1. Fall (alpha=-4): => LGS ist nichtl\366sbar (d.h. es gibt keine L\366sungen)
2. Fall (alpha=2): => LGS besitzt mehrere L\366sungen (hier: eine Gerade. Grund: Matrix besitzt Rang 2)
3. Fall (alpha!=-4 und alpha!=2): => LGS eindeutig l\366sbar (siehe obige L\366sung. Diese wurde von Maple angegeben)
Im 2. Beispiel sind die folgenden F\344lle zu unterscheiden: 1. Fall (alpha!=0 und alpha!=-1): => LGS eindeutig l\366sbar (siehe obige L\366sung. Diese wurde von Maple angegeben)
2. Fall (alpha=-1): => LGS besitzt mehrere L\366sungen (hier: eine Gerade. Grund: Matrix besitzt Rang 2) 3. Fall (alpha=0): => LGS besitzt mehrere L\366sungen (hier: eine Ebene. Grund: Matrix besitzt Rang 1)with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[alpha,beta,gamma,delta],[-beta,alpha,delta,-gamma],[-gamma,-delta,alpha,beta],[-delta,gamma,beta,alpha]]):
b := Vector([alpha,0,0,delta]):
LinearSolve(A,b);<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"><Font bold="false" encoding="ISO8859-1" executable="false" italic="true">4.3. Gau\337-Verfahren:</Font></Text-field>Sei A eine mxn-dimensionale Matrix, b ein m-dimensionaler und x ein n-dimensionaler Spaltenvektor. Weiter seien die Matrix A und der Vektor b beide gegeben. Zum L\366sen eines linearen Gleichungssystems (LGS) der Form Ax=b k\366nnen wir anstelle von "LinearSolve(A,b)" auch das Gau\337sche Eliminationsverfahren verwenden. Um das Gau\337-Verfahren lediglich auf eine Matrix anzuwenden, gen\374gt die Eingabe "GaussianElimination(A)". Wenn wir hingegen den L\366sungsvektor erhalten m\366chten, so m\374ssen wir die rechte Seite mit ber\374cksichtigen und die Eingabe "ReducedRowEchelonForm(<A|b>)" t\344tigen. Der L\366sungsvektor des linearen Gleichungssystems befindet sich im Ergebnis anschlie\337end im rechten Spaltenvektor. Beispiel:with(LinearAlgebra):
A := Matrix([[1,0,2],[3,2,1],[4,1,3]]):
b := Vector([1,0,0]):
GaussianElimination(A);
ReducedRowEchelonForm(<A|b>);TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU1NDkzNlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCEiIiIiIkYoNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU3NzU5MlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCwkKiYsJiUmYWxwaGFHIiIkIiM1IiIiRi0sJkYqCkYtIiIlRi0hIiIjRjBGLyokRi5GMCwkKiYsJkYqRisiIzlGLUYtRi5GMCNGLUYvNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU4MzQyMFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIUYnRic2Igo=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TTdSMApJNVJUQUJMRV9TQVZFLzIwMjkyMjg0WCwlKWFueXRoaW5nRzYiNiJbZ2whIiUhISEjKiIkIiQiIiIiIiFGKEYoIiIjRihGKSEiJiNGKkYpCkYmCg==TTdSMApJNVJUQUJMRV9TQVZFLzIwNDY0NDQ4WCwlKWFueXRoaW5nRzYiNiJbZ2whIiUhISEjLSIkIiUiIiIiIiFGKEYoRidGKEYoRihGJyEiIkYnCkYnRiYK